por marcosufpr » Terça Nov 24, 2009 2:18 pm
f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³
Uma forma de encontrar os pontos mínimos é:
1) derivar;
2) encontrar as raízes da equação do 2° grau, que serão os candidatos a máx ou min da f(x), ou seja, são os pontos críticos;
3) analisar se estas raízes são máximo ou mínimo da função.
derivada
f´(x) = -3x² + 18x - 15
Báskara
-3x² + 18x - 15 = 0
-18 ± √(18²-4*(-3)*(-15)) / 2*(-3)
(-18 ±√ (324 - 180)) / (-6)
(-18 ±√ 144) / (-6)
(-18 ± 12) / (-6)
x1 = (-18+12)/(-6) = -6/-6 = 1
x2 = (-18-12)/(-6) = -30/-6 = 5
Os pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 5. Agora devemos saber qual é maximo e qual é mínimo!
Pontos de máx e min pelo critério da 1ª derivada
"Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.
1) Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
2) Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f."
Derivando a função dada, chegamos a equação do 2° grau -3x² + 18x - 15 = 0
O gráfico desta equação é uma parábola com concavidade para baixo (pois a = -3 <0)
Logo ela assume valores positivos no intervalo compreendido entre as raízes [1, 5] e negativo fora deste intervalo. Fazendo o desenho da concavidade vc verá isto com facilidade.
Veja que, para x=1, f´(x) é positivo a direita e negativo a esquerda, logo f(1) é ponto de mínimo para f(x).
logo, min f(x) = f(1) = 2 - 15*1 + 9*1² - 1³ = -5
Para x = 5, f´(x) é positivo a esquerda e negativo a direita, logo f(5) é ponto de máximo para f(x)
logo, max f(x) = f(5) = 2 - 15*5 + 9*5² - 5³ = 27
Assim, temos que os pontos críticos são:
máx f(x) = 27
min f(x) = -5
espero q eu tnha ajudado!!
qqr dúvida grite aí... a outra forma que conheco para este tipo de questão é usar a regra da 2ª derivada!!!