Progressão Geométrica

Debate de questões relacionadas à educação matemática.

Moderador: Helio Carvalho

Progressão Geométrica

Mensagempor princewilliam » Terça Mar 26, 2013 9:31 pm

Escreva o número 33333 como a expressão de uma soma de progressão geométrica. Explicite na sua resposta, o primeiro termo e a razão da progressão.

Resposta: a1 = 3 e q = 10

Desde já, obrigado.
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Re: Progressão Geométrica

Mensagempor danjr5 » Domingo Mar 31, 2013 11:56 am

Creio que tenha cometido um equívoco. O correto não seria 0,33333...

Se sim, resolução que segue:

0,3333333... =

0,3000000 + 0,0300000 + 0,00300000 + 0,00030000 + ... =

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... =

3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + ... =

Sabe-se que:

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n = S_n

a_1 + a_1 * q¹ + a_1 * q² + a_1 * q³ + ... + a_1 * q^(n - 1) = a_1/(1 - q)

Então,

3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + ... =

3/10 + 3/10 * 1/10 + 3/10 * 1/100 + 3/10 * 1/10000 + ... =

Logo,

a_1 = 3/10

q = 1/10
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Re: Progressão Geométrica

Mensagempor princewilliam » Sexta Abr 05, 2013 8:11 pm

Não há nenhum equívoco. Na verdade, alguns dias depois que publiquei essa dúvida, descobri a resposta e vou coloca-la logo abaixo para que outras pessoas possam aprender com ela. Mesmo assim, obrigado!

Observe que 33333 = 3+3.10+3.10²+3.10³+3.10^4 = 3(10^5-1)/9 = (10^5-1)/3, onde a1=3 e q=10.
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