por gandulfo » Terça Jan 08, 2019 10:00 pm
Olá, Mágico63, tudo bem?
Para encontrar os máximos e os mínimos de uma função univariável, é necessário igualar sua derivada a zero. Primeiramente, calculemos sua derivada:
h(x) = x/(1+x.tg(x))
(1) Regra do quociente: (f/g)'=(f'g-fg')/g²
h'(x)={1.(1+x.tg(x))-x.[0+(x.tg(x))']}/(1+x.tg(x))²
(2) Regra do produto: (fg)'=f'g+fg'
h'(x)={1.(1+x.tg(x))-x.[1.tgx+x.sec²(x)]}/(1+x.tg(x))²
(3) Expansão dos separadores
h'(x)=(1+x.tg(x)-x.tg(x)-x²sec²(x))/(1+x.tg(x))²
(4) Simplificação de termos semelhantes
h'(x)=(1-x²sec²(x))/(1+x.tg(x))²
Formação da equação: igualar a derivada a zero.
(1-x²sec²(x))/(1+x.tg(x))²=0
(1) Para que um quociente resulte zero, é necessário que o numerador seja zero.
1-x²sec²(x)=0
(2) Organização dos termos
x²sec²(x)=1
(3) Resolução por radical
x.sec(x)=±1
Contudo, a solução não pode ser x.sec(x)=-1, já que, para isso, sec(x)<0 (e, consequentemente, cos(x)<0) e, se essa condição for satisfeita, x não estará inscrito no intervalo proposto, [0, π/2], já que isso só pode ser realizado com valores de x pertencentes ao intervalo (π, 2π).
Portanto, o máximo global que a função pode atingir é aquele em que o valor que o representa é solução da equação x.sec(x)=1.
Espero ter sido útil! _b
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