por Bruno Holtz » Quarta Dez 20, 2017 2:08 pm
1) Primeiramente, inv(z)*z = 1.
Se z esta em Z(G), sabemos que gz = zg; logo gz*inv(zg) = 1.
Assim,
1 = gz*inv(g)*inv(z); que implica,
inv(z) = Inv(gz*inv(g)) = g*inv(gz) = g*inv(z)*inv(g); logo,
inv(z)*g = g*inv(z). Portanto inv(z) pertence a Z(G).
Resta mostrar que se h,z pertencem a Z(G), hz esta em Z(G). Basta notar que para qualquer g de G temos que g(hz) = (gh)z = (hg)z = h(gz) = h(zg) = hzg.
2) OBS.: Acredito que o enunciado correto é saber quantos SUBGRUPOS de ordem prima G admite. Assim sendo, basta notar que sendo G = n e n um Inteiro positivo, pelo teorema fundamental da aritmética existem primos distintos tais que n = p1p2...pm. Agora como a ordem do subgrupo divide a ordem do grupo, segue que existe algum subgrupo de ordem pi, para algum i em {1,...,m}.