Base de R3

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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Base de R3

Mensagempor gihsantiago » Quarta Nov 15, 2017 10:53 am

Os conjuntos de vetores abaixo, formam uma base de R³?

A = {(1,4,-2), (3,0,5)}
B = {(2,-1,1), (4, -2,2)}
gihsantiago
 
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Re: Base de R3

Mensagempor Paulo Testoni » Terça Nov 28, 2017 8:06 am

Hola.

A = {(1,4,-2), (3,0,5)}

É claro que o conjunto é LI, já que os vetores não são múltiplos.

a*(1, 4, -2), b*(3, 0, 5) = 0
(a, 4a, -2a) + (3b, 0b, 5b) = 0
a + 3b = 0
4a + 0b = 0 === a = 0
-2a + 5b = 0.
Note que: a = b = 0, logo: (1, 4, -2), (3, 0, 5) são Li e como tal formam uma base de R³.

Só complementando a fim de ilustração: vou completá-lo de forma a obter uma base para R³, veja:

(x, y, z) = a(1, 4, -2) + b(3, 0, 5)
ou ainda
x = a + 3b, y = 4a, z = -2a + 5b

e então:
w = (a + 3b, 4a, -2a + 5b). Basta escolhermos então um vetor que não seja deste tipo, por exemplo, tomemos o vetor (5,3,0) e teremos que {(1, 4, -2), (3,0,5), (5,3,0)} será base para R³.

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Para: B = {(2,-1,1), (4, -2,2)}, note que eles são múltiplos logo não sendo Li não geram R³
Às vezes é melhor ficar quieto e deixar que pensem que vc é idiota, do que abrir a boca e não deixar nenhuma dúvida.
Paulo Testoni
 
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