por danielcomex » Quarta Abr 03, 2013 2:24 pm
Olá natashamzz,
Nem sempre você conseguirá igualar as expressões imediatamente, o melhor dos casos é quando você consegue a partir da relação |f(x) – L|< ε chegar na relação |x –c|<A diretamente, sendo A uma expressão em função de ε. Para exemplificar este caso, vamos provar pela definição que:
lim 2x + 1 = 3
x -> 1
Dessa forma vamos conjecturar δ em função de ε, à partir da relação |f(x) – L|< ε, assim
|(2x + 1) - 3| < ε
|2x - 2| < ε
|2||x-1| < ε
|x-1| < ε/2
Neste caso, conseguimos chegar em | x – c | < A, sendo A uma expressão em função de ε. Portanto, basta tomarmos δ = ε/2.
Cuidado! A prova ainda não foi feita, agora que conjecturamos δ, vamos provar:
lim 2x + 1 = 3 <=> para todo ε > 0, existe δ > 0; 0 < | x – 1 | < δ ⇒ | f(x) – 3 | < ε.
x -> 1
Prova:
0 <| x – 1 | < δ ⇒ |(2x + 1) - 3| = |2x - 2| = 2|x-1| < 2δ = 2(ε/2) = ε
Como queríamos mostrar... Mas pode acontencer de você não conseguir chegar nesse resultado diretamente e você precisar fazer algumas manipulações, veja o exemplo:
lim x² = 4
x -> 2
Pela definição:
|x² - 4| < ε
|x+2||x-2| < ε
Desejamos somente a parcela |x-2| nesta relação, para isso vamos assumir que |x-2| < 1. Mas por que podemos fazer essa suposição? Pois, estamos admitindo que estamos trabalhando com valores de ε arbitrariamente pequenos e x está assumindo valores próximos de 2, daí:
-1 < x - 2 < 1
1 < x < 3
A partir dessa relação anterior,
3 < x + 2 < 5
Como x + 2 é menor do que 5, então
|x + 2| |x-2| < 5|x-2|
Agora vamos utilizar essa relação de volta no nosso trabalho inicial
|x+2||x-2| < 5|x-2| < ε
|x-2| < ε/5
Mas temos um problema, como δ = ε/5, se tomarmos valores de ε suficientemente grandes fazendo com que |x+2| assuma valores maiores do que 5, então teremos uma inconsistência na nossa prova,
Se ε = 10, então δ = 2 e
-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4
2 < x + 2 < 6
Neste caso |x+2| pode assumir valores no intervalo (5,6). Dessa forma para garantirmos a consistência da nossa prova tomamos:
δ = min{1, ε/5}
Vamos à prova:
lim x² = 4 <=> para todo ε > 0, existe δ > 0; 0 < | x – 2 | < δ ⇒ | f(x) – 4 | < ε.
x -> 2
Prova:
| x – 2 | < δ ⇒ |x² - 4| = |x+2||x-2| < 5|x-2| < 5δ = 5(ε/5) = ε.
Como queríamos demonstrar...
Vamos resumir:
"eu tenho que fazer com que o que está entre os módulos fique igual?"
A estratégia para conjecturar δ em função de ε é esta, mas nem sempre conseguiremos fazer com que isso aconteça diretamente.
"Se não for igual, o que significa?"
Significa que você deverá fazer algumas manipulações para chegar à conclusão desejada...
Ufa! Espero ter ajudado....