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Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos
Enviado:
Sábado Nov 21, 2009 1:45 am
por ally-jones
Essa parte de cálculo ta me matando. Minha professora lançou esse exercício pra resolver em casa mas não to conseguindo.
f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³
Derivada eu fiz, só espero estr certa:
f'(x) = 15 + 18x - 3x²
Igualando a zero:
Eu usei a fórmula de Bhaskara, porém inverti a ordem e fiz assim: -3x²+18x+15=0, e não tenho certeza se posso fazer isso ou usar apenas a derivada f' como saiu no resultado.
Meus resultados sairam uma bagunça tão grande que eu tenho quase certeza que to errada.
Então me falta o resultado de P1 e P2, estudo do sinal, crescente e decrescente, concavidade pra baixo e pra cima e o gráfico. Não peço o gráfico pq já é pedir demais mas uma ajuda será mto bem vidaaaaaaaaaa por favor!!
Tenho que tirar essas dúvidas até quarta.
Agradeço a quem ajudar!!
Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos
Enviado:
Sábado Nov 21, 2009 4:53 pm
por adriano tavares
Olá,ally-jones.
A derivada da função é:
f'(x)=-15+18x-3x²
Faltou você colocar o sinal de menos do lado do 15.
Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos
Enviado:
Segunda Nov 23, 2009 10:41 pm
por ally-jones
adriano tavares escrito:Olá,ally-jones.
A derivada da função é:
f'(x)=-15+18x-3x²
Faltou você colocar o sinal de menos do lado do 15.
Opa! Obrigado!
Poderia me ajudar com os pontos críticos?
Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos
Enviado:
Terça Nov 24, 2009 2:18 pm
por marcosufpr
f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³
Uma forma de encontrar os pontos mínimos é:
1) derivar;
2) encontrar as raízes da equação do 2° grau, que serão os candidatos a máx ou min da f(x), ou seja, são os pontos críticos;
3) analisar se estas raízes são máximo ou mínimo da função.
derivada
f´(x) = -3x² + 18x - 15
Báskara
-3x² + 18x - 15 = 0
-18 ± √(18²-4*(-3)*(-15)) / 2*(-3)
(-18 ±√ (324 - 180)) / (-6)
(-18 ±√ 144) / (-6)
(-18 ± 12) / (-6)
x1 = (-18+12)/(-6) = -6/-6 = 1
x2 = (-18-12)/(-6) = -30/-6 = 5
Os pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 5. Agora devemos saber qual é maximo e qual é mínimo!
Pontos de máx e min pelo critério da 1ª derivada
"Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.
1) Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
2) Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f."
Derivando a função dada, chegamos a equação do 2° grau -3x² + 18x - 15 = 0
O gráfico desta equação é uma parábola com concavidade para baixo (pois a = -3 <0)
Logo ela assume valores positivos no intervalo compreendido entre as raízes [1, 5] e negativo fora deste intervalo. Fazendo o desenho da concavidade vc verá isto com facilidade.
Veja que, para x=1, f´(x) é positivo a direita e negativo a esquerda, logo f(1) é ponto de mínimo para f(x).
logo, min f(x) = f(1) = 2 - 15*1 + 9*1² - 1³ = -5
Para x = 5, f´(x) é positivo a esquerda e negativo a direita, logo f(5) é ponto de máximo para f(x)
logo, max f(x) = f(5) = 2 - 15*5 + 9*5² - 5³ = 27
Assim, temos que os pontos críticos são:
máx f(x) = 27
min f(x) = -5
espero q eu tnha ajudado!!
qqr dúvida grite aí... a outra forma que conheco para este tipo de questão é usar a regra da 2ª derivada!!!
Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos
Enviado:
Terça Nov 24, 2009 10:23 pm
por ally-jones
marcosufpr escrito:f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³
Uma forma de encontrar os pontos mínimos é:
1) derivar;
2) encontrar as raízes da equação do 2° grau, que serão os candidatos a máx ou min da f(x), ou seja, são os pontos críticos;
3) analisar se estas raízes são máximo ou mínimo da função.
derivada
f´(x) = -3x² + 18x - 15
Báskara
-3x² + 18x - 15 = 0
-18 ± √(18²-4*(-3)*(-15)) / 2*(-3)
(-18 ±√ (324 - 180)) / (-6)
(-18 ±√ 144) / (-6)
(-18 ± 12) / (-6)
x1 = (-18+12)/(-6) = -6/-6 = 1
x2 = (-18-12)/(-6) = -30/-6 = 5
Os pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 5. Agora devemos saber qual é maximo e qual é mínimo!
Pontos de máx e min pelo critério da 1ª derivada
"Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.
1) Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
2) Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f."
Derivando a função dada, chegamos a equação do 2° grau -3x² + 18x - 15 = 0
O gráfico desta equação é uma parábola com concavidade para baixo (pois a = -3 <0)
Logo ela assume valores positivos no intervalo compreendido entre as raízes [1, 5] e negativo fora deste intervalo. Fazendo o desenho da concavidade vc verá isto com facilidade.
Veja que, para x=1, f´(x) é positivo a direita e negativo a esquerda, logo f(1) é ponto de mínimo para f(x).
logo, min f(x) = f(1) = 2 - 15*1 + 9*1² - 1³ = -5
Para x = 5, f´(x) é positivo a esquerda e negativo a direita, logo f(5) é ponto de máximo para f(x)
logo, max f(x) = f(5) = 2 - 15*5 + 9*5² - 5³ = 27
Assim, temos que os pontos críticos são:
máx f(x) = 27
min f(x) = -5
espero q eu tnha ajudado!!
qqr dúvida grite aí... a outra forma que conheco para este tipo de questão é usar a regra da 2ª derivada!!!
Ajudou sim. Obrigado mesmo.
Minha professora usa o método da 2ª derivada pra descobrir os pontos de inflexão e depois a montagem do gráfico. Essa parte da matéria ta me matando!
Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos
Enviado:
Quarta Nov 25, 2009 7:31 am
por marcosufpr
Regra da 2ª derivada para máx e mín.
Seja f(x) uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f'(x) seja uma função contínua. Supondo que f(x) possui um ponto crítico x=c em S, isto é, f'(c)=0.
Se f"(c)<0 então x=c é um ponto de máximo para a função f.
Se f"(c)>0 então x=c é um ponto de mínimo para a função f.
f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³
encontrando os pontos críticos de f(x)
f'(x) = -3x² + 18x - 15
-3x²+18x-15 = 0
por Báskara, temos: x1 = 1, x2 = 5
Pontos de máx e min pelo critério da 2ª derivada
f(x) é uma funçao de grau 3, portanto, derivável em R. f'(x), consequentemente, é função do 2° grau, logo é contínua.
f''(x) = -6x + 18
os pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 5, assim:
f''(1) = -6*1 + 18 = -6+18 = 12
f''(5) = -6*5 + 18 = -30 + 18 = -12
f''(1) > 0 .... então em x=1 temos um ponto de mínimo. Logo, min f(x) = f(1) = -5
f''(5) < 0 .... então em x=5 temos um ponto de máximo. Logo, max f(x) = f(5) = 27