Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos

Mensagempor ally-jones » Sábado Nov 21, 2009 1:45 am

Essa parte de cálculo ta me matando. Minha professora lançou esse exercício pra resolver em casa mas não to conseguindo.


f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³

Derivada eu fiz, só espero estr certa:

f'(x) = 15 + 18x - 3x²

Igualando a zero:
Eu usei a fórmula de Bhaskara, porém inverti a ordem e fiz assim: -3x²+18x+15=0, e não tenho certeza se posso fazer isso ou usar apenas a derivada f' como saiu no resultado.
Meus resultados sairam uma bagunça tão grande que eu tenho quase certeza que to errada.

Então me falta o resultado de P1 e P2, estudo do sinal, crescente e decrescente, concavidade pra baixo e pra cima e o gráfico. Não peço o gráfico pq já é pedir demais mas uma ajuda será mto bem vidaaaaaaaaaa por favor!!
Tenho que tirar essas dúvidas até quarta.

Agradeço a quem ajudar!!
ally-jones
 
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Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos

Mensagempor adriano tavares » Sábado Nov 21, 2009 4:53 pm

Olá,ally-jones.

A derivada da função é:

f'(x)=-15+18x-3x²

Faltou você colocar o sinal de menos do lado do 15.
adriano tavares
 
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Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos

Mensagempor ally-jones » Segunda Nov 23, 2009 10:41 pm

adriano tavares escrito:Olá,ally-jones.

A derivada da função é:

f'(x)=-15+18x-3x²

Faltou você colocar o sinal de menos do lado do 15.


Opa! Obrigado!

Poderia me ajudar com os pontos críticos?
ally-jones
 
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Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos

Mensagempor marcosufpr » Terça Nov 24, 2009 2:18 pm

f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³

Uma forma de encontrar os pontos mínimos é:
1) derivar;
2) encontrar as raízes da equação do 2° grau, que serão os candidatos a máx ou min da f(x), ou seja, são os pontos críticos;
3) analisar se estas raízes são máximo ou mínimo da função.


derivada
f´(x) = -3x² + 18x - 15

Báskara

-3x² + 18x - 15 = 0

-18 ± √(18²-4*(-3)*(-15)) / 2*(-3)

(-18 ±√ (324 - 180)) / (-6)

(-18 ±√ 144) / (-6)

(-18 ± 12) / (-6)

x1 = (-18+12)/(-6) = -6/-6 = 1

x2 = (-18-12)/(-6) = -30/-6 = 5


Os pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 5. Agora devemos saber qual é maximo e qual é mínimo!


Pontos de máx e min pelo critério da 1ª derivada

"Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.

1) Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
2) Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f."



Derivando a função dada, chegamos a equação do 2° grau -3x² + 18x - 15 = 0
O gráfico desta equação é uma parábola com concavidade para baixo (pois a = -3 <0)

Logo ela assume valores positivos no intervalo compreendido entre as raízes [1, 5] e negativo fora deste intervalo. Fazendo o desenho da concavidade vc verá isto com facilidade.

Veja que, para x=1, f´(x) é positivo a direita e negativo a esquerda, logo f(1) é ponto de mínimo para f(x).
logo, min f(x) = f(1) = 2 - 15*1 + 9*1² - 1³ = -5

Para x = 5, f´(x) é positivo a esquerda e negativo a direita, logo f(5) é ponto de máximo para f(x)
logo, max f(x) = f(5) = 2 - 15*5 + 9*5² - 5³ = 27


Assim, temos que os pontos críticos são:

máx f(x) = 27
min f(x) = -5



espero q eu tnha ajudado!!

qqr dúvida grite aí... a outra forma que conheco para este tipo de questão é usar a regra da 2ª derivada!!!
marcosufpr
 
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Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos

Mensagempor ally-jones » Terça Nov 24, 2009 10:23 pm

marcosufpr escrito:f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³

Uma forma de encontrar os pontos mínimos é:
1) derivar;
2) encontrar as raízes da equação do 2° grau, que serão os candidatos a máx ou min da f(x), ou seja, são os pontos críticos;
3) analisar se estas raízes são máximo ou mínimo da função.


derivada
f´(x) = -3x² + 18x - 15

Báskara

-3x² + 18x - 15 = 0

-18 ± √(18²-4*(-3)*(-15)) / 2*(-3)

(-18 ±√ (324 - 180)) / (-6)

(-18 ±√ 144) / (-6)

(-18 ± 12) / (-6)

x1 = (-18+12)/(-6) = -6/-6 = 1

x2 = (-18-12)/(-6) = -30/-6 = 5


Os pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 5. Agora devemos saber qual é maximo e qual é mínimo!


Pontos de máx e min pelo critério da 1ª derivada

"Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.

1) Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
2) Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f."



Derivando a função dada, chegamos a equação do 2° grau -3x² + 18x - 15 = 0
O gráfico desta equação é uma parábola com concavidade para baixo (pois a = -3 <0)

Logo ela assume valores positivos no intervalo compreendido entre as raízes [1, 5] e negativo fora deste intervalo. Fazendo o desenho da concavidade vc verá isto com facilidade.

Veja que, para x=1, f´(x) é positivo a direita e negativo a esquerda, logo f(1) é ponto de mínimo para f(x).
logo, min f(x) = f(1) = 2 - 15*1 + 9*1² - 1³ = -5

Para x = 5, f´(x) é positivo a esquerda e negativo a direita, logo f(5) é ponto de máximo para f(x)
logo, max f(x) = f(5) = 2 - 15*5 + 9*5² - 5³ = 27


Assim, temos que os pontos críticos são:

máx f(x) = 27
min f(x) = -5



espero q eu tnha ajudado!!

qqr dúvida grite aí... a outra forma que conheco para este tipo de questão é usar a regra da 2ª derivada!!!


Ajudou sim. Obrigado mesmo.

Minha professora usa o método da 2ª derivada pra descobrir os pontos de inflexão e depois a montagem do gráfico. Essa parte da matéria ta me matando!
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Re: Cálculo 1: problema de Máximos e Mínimos

Mensagempor marcosufpr » Quarta Nov 25, 2009 7:31 am

Regra da 2ª derivada para máx e mín.

Seja f(x) uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f'(x) seja uma função contínua. Supondo que f(x) possui um ponto crítico x=c em S, isto é, f'(c)=0.

Se f"(c)<0 então x=c é um ponto de máximo para a função f.

Se f"(c)>0 então x=c é um ponto de mínimo para a função f.



f(x) = 2 - 15x + 9x² - x³

encontrando os pontos críticos de f(x)

f'(x) = -3x² + 18x - 15

-3x²+18x-15 = 0

por Báskara, temos: x1 = 1, x2 = 5


Pontos de máx e min pelo critério da 2ª derivada

f(x) é uma funçao de grau 3, portanto, derivável em R. f'(x), consequentemente, é função do 2° grau, logo é contínua.

f''(x) = -6x + 18

os pontos críticos são x1 = 1 e x2 = 5, assim:

f''(1) = -6*1 + 18 = -6+18 = 12

f''(5) = -6*5 + 18 = -30 + 18 = -12



f''(1) > 0 .... então em x=1 temos um ponto de mínimo. Logo, min f(x) = f(1) = -5
f''(5) < 0 .... então em x=5 temos um ponto de máximo. Logo, max f(x) = f(5) = 27
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