limite fundamental x-->3

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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limite fundamental x-->3

Mensagempor yurikun » Quinta Set 30, 2010 10:35 pm

lim ( x - 3 )*cosec πx
x-->3

como resolver esse limite sem usar L'hôpital ?
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Re: limite fundamental x-->3

Mensagempor Elcioschin » Sexta Out 01, 2010 11:51 am

(x - 3)*cossec(pi*x) = (x - 3)/sen(pi*x) ----> Multiplicando numerador e denominador por 1/pi*x

= [(x - 3)*/pi*x]/[sen(pi*x)/pi*x] = [(1 - 3/x)/pi]/[sen(pi*x)/pi*x) =

Aplicando limite -----> [(1 - 3/3)/pi]/1 = 0/pi = 0
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Re: limite fundamental x-->3

Mensagempor yurikun » Sexta Out 01, 2010 5:23 pm

você considerou lim [sen(pi*x)/pi*x] = 1 ? mas pode o limite tendendo a 3, eu pensava que só era para o limite que tende a zero...
....................x-->3

e o resultado desse limite é (-1)/π
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Re: limite fundamental x-->3

Mensagempor danielcomex » Sábado Out 02, 2010 7:34 pm

Olá,
A regra do limite trigonométrico fundamental é:

lim sen f(x)/f(x) = 1
x ---> a

Sendo que lim f(x) quando x tende a 'a' é igual a zero. Então este teorema é válido para todo número real.

Com f(x) = pi * x, tem-se:

lim sen f(x) / f(x)
x ---> 3

O limite de f(x) quando x tende a 3 é diferente de zero, logo a aplicação do teorema está incorreta. Mas quanto a pergunta feita, pode-se considerar este teorema desde que o limite de f(x) quando x tende a 'a' seja igual a zero, mesmo sendo 'a' diferente de zero, por exemplo:

lim sen(x-2)/x-2
x-->2
Fazendo f(x) = x - 2, verifica-se que limite de f(x) quando x tende a 2 é igual a zero, então:


lim sen(x-2)/x-2 = 1
x-->2
Editado pela última vez por danielcomex em Domingo Out 03, 2010 2:45 am, no total de 2 vezes.
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Re: limite fundamental x-->3

Mensagempor yurikun » Sábado Out 02, 2010 9:04 pm

Ahh cara, valeu, agora eu entendi esse conceito.

Mas como, então você faria essa questão que eu coloquei, sem usar l'hôpital ?

valeu!!
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Re: limite fundamental x-->3

Mensagempor danielcomex » Domingo Out 03, 2010 12:27 pm

Olá,
Eu fiz uma retificação na primeira resposta quanto ao limite trigonométrico fundamental, checa lá.
Existe um teorema que decorre do teorema do confronto e diz:
Considere duas funções f e g com as seguintes propriedades:
a)Para um certo a E R, existe um r > 0, tal que (a,a-r)U(a,a+r) está contido na interseção do domínio da função f com a função g.
b)Existe um M > 0, tal que, se x E (a,a-r)U(a,a+r), então |g(x)| <= M.
c) Lim f(x) = 0
x --> a

Então,
lim(f(x) * g(x)) = 0
x --> a

Deste teorema decorre diretamente que considerando:
f(x) = x - 3 e g(x) = cosec pi*x
lim f(x) * g(x) = 0
x --> 3

Para ficar mais claro veja a demonstração deste teorema, utilizando o teorema do confronto é:
Para x E (a,a-r) U (a,a+r),

0 <= |f(x) * g(x)| <= |f(x)| * M

Como o limite de f(x) = 0 quando x tende a 'a', então lim |f(x)| * M quando x trende a 'a' também é igual a zero. lim 0 quando x tende a 'a' é igual a zero. Pelo teorema do confronto,
lim |f(x) * g(x)| = 0
x ---> a
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