LD e LI (Álgebra Linear)

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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LD e LI (Álgebra Linear)

Mensagempor Angeloborsato » Sábado Set 18, 2010 4:00 pm

Boa tarde,

Estou cursando administração e no 2o semestre tenho a cadeira de Álgebra Linear.
O professor titular da cadeira, que era muito bom, saiu do curso e a professora nova é muita fraca, estou tendo enormes dificuldades (enormes mesmo).

Abro esse tópico para 2 questões:

1) Como sei se um conjunto de vetores é Linearmente Dependente ou Linearmente Independente? Se souberem explicar de uma maneira be-a-bá, bem básica, agradeço, pois já pesquisei em muitos lugares e até agora nada clareou a minha mente.

2) Sabem algum site bom para aprender álgebra? Tenho prova em 10 dias e estou desesperado. Até agora só sei escalonar, e mesmo assim não me garanto completamente.


Obrigado.
Angeloborsato
 
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Re: LD e LI (Álgebra Linear)

Mensagempor Helio Carvalho » Sábado Set 18, 2010 8:40 pm

Como sei se um conjunto de vetores é Linearmente Dependente ou Linearmente Independente? Se souberem explicar de uma maneira be-a-bá, bem básica, agradeço, pois já pesquisei em muitos lugares e até agora nada clareou a minha mente.

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Diz-se que um conjunto de vetores é linearmente dependente (L.D.) se é possível expressar um dos vetores como uma combinação linear dos outros.
Se u = v + w, então u depende dos vetores v e w.
Se v = 2x + 3y e w = -3x + 4y, então u = -x + 7y

Diz-se que um conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.) se ele não é linearmente dependente.

Exemplo:
Sejam os vetores: V = (1 , 0 , 1) e W = (0 , 1 , 1) são LI ou LD?

Se eles são LD, então existe um escalar k diferente de 0 que V = kW
(1 , 0 , 1) = k(0 , 1 , 1)
(1 , 0 , 1) = (0 , k , k)
Veja que não é possível decidir qual o valor de k. Logo, são linearmente independetes.

Veja esse outro exemplo:
u = (-1,2,0,2), v = (5,0,1,1), w = (8,-6,1,-5)
ru = kv + mw
r(-1 , 2 , 0 , 2) = k(5 , 0 , 1 , 1) + m(8 , -6 , 1 , -5)
(-r , 2r , 0 , 2r) = (5k , 0 , k , k) + (8m , -6m , m , -5m)
(-r , 2r , 0 , 2r) = (5k + 8m , 0 - 6m , k + m , k - 5m)
-r = 5k + 8m
2r = - 6m
0 = k + m
2r = k - 5m

reescrevendo as equações temos:
r + 5k + 8m = 0
2r + 6m = 0
k + m = 0
2r - k + 5m = 0

1 .... 5 .... 8 .... 0
2 .... 0 .... 6 .... 0 (L2 - 2.L1)
0 .... 1 .... 1 .... 0
2 ... -1 .... 5 .... 0 (L4 - 2.L1)

1 .... 5 .... 8 .... 0
0 .. -10 .. -10 ... 0
0 .... 1 .... 1 .... 0 (10.L3 + L2)
0 .. -11 .. -11 ... 0 (10.L4 - 11.L2)

1 .... 5 .... 8 .... 0
0 .. -10 .. -10 ... 0
0 .... 0 .... 0 .... 0
0 .... 0 .... 0 .... 0

Assim, -10k - 10m = 0 ; k = - m
r + 5k + 8m = 0 ; r - 5m + 8m = 0 ; r = - 3m
Assim, para m = 1, temos: r = -3 e k = -1
Logo, -3u = -v + w, ou seja, são linearmente dependentes.
Helio Carvalho
 
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