Limites por definição

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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Limites por definição

Mensagempor natashamzz » Sábado Mar 30, 2013 1:40 pm

Olá, eu tenho uma dúvida que ainda não consegui solucionar. Eu gostaria de saber se para 0 < | x – c | < δ ⇒ | f(x) – L | < ε, para δ ficar em função de ε, eu tenho que fazer com que o que está entre os módulos fique igual?
Se não for igual, o que significa?
Agradeço desde já.
natashamzz
 
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Re: Limites por definição

Mensagempor danielcomex » Quarta Abr 03, 2013 2:24 pm

Olá natashamzz,

Nem sempre você conseguirá igualar as expressões imediatamente, o melhor dos casos é quando você consegue a partir da relação |f(x) – L|< ε chegar na relação |x –c|<A diretamente, sendo A uma expressão em função de ε. Para exemplificar este caso, vamos provar pela definição que:

lim 2x + 1 = 3
x -> 1

Dessa forma vamos conjecturar δ em função de ε, à partir da relação |f(x) – L|< ε, assim

|(2x + 1) - 3| < ε

|2x - 2| < ε

|2||x-1| < ε

|x-1| < ε/2

Neste caso, conseguimos chegar em | x – c | < A, sendo A uma expressão em função de ε. Portanto, basta tomarmos δ = ε/2.

Cuidado! A prova ainda não foi feita, agora que conjecturamos δ, vamos provar:

lim 2x + 1 = 3 <=> para todo ε > 0, existe δ > 0; 0 < | x – 1 | < δ ⇒ | f(x) – 3 | < ε.
x -> 1

Prova:

0 <| x – 1 | < δ ⇒ |(2x + 1) - 3| = |2x - 2| = 2|x-1| < 2δ = 2(ε/2) = ε

Como queríamos mostrar... Mas pode acontencer de você não conseguir chegar nesse resultado diretamente e você precisar fazer algumas manipulações, veja o exemplo:

lim x² = 4
x -> 2

Pela definição:

|x² - 4| < ε
|x+2||x-2| < ε

Desejamos somente a parcela |x-2| nesta relação, para isso vamos assumir que |x-2| < 1. Mas por que podemos fazer essa suposição? Pois, estamos admitindo que estamos trabalhando com valores de ε arbitrariamente pequenos e x está assumindo valores próximos de 2, daí:

-1 < x - 2 < 1
1 < x < 3

A partir dessa relação anterior,

3 < x + 2 < 5

Como x + 2 é menor do que 5, então

|x + 2| |x-2| < 5|x-2|

Agora vamos utilizar essa relação de volta no nosso trabalho inicial

|x+2||x-2| < 5|x-2| < ε

|x-2| < ε/5

Mas temos um problema, como δ = ε/5, se tomarmos valores de ε suficientemente grandes fazendo com que |x+2| assuma valores maiores do que 5, então teremos uma inconsistência na nossa prova,

Se ε = 10, então δ = 2 e

-2 < x - 2 < 2

0 < x < 4

2 < x + 2 < 6

Neste caso |x+2| pode assumir valores no intervalo (5,6). Dessa forma para garantirmos a consistência da nossa prova tomamos:

δ = min{1, ε/5}

Vamos à prova:

lim x² = 4 <=> para todo ε > 0, existe δ > 0; 0 < | x – 2 | < δ ⇒ | f(x) – 4 | < ε.
x -> 2

Prova:

| x – 2 | < δ ⇒ |x² - 4| = |x+2||x-2| < 5|x-2| < 5δ = 5(ε/5) = ε.

Como queríamos demonstrar...

Vamos resumir:

"eu tenho que fazer com que o que está entre os módulos fique igual?"

A estratégia para conjecturar δ em função de ε é esta, mas nem sempre conseguiremos fazer com que isso aconteça diretamente.

"Se não for igual, o que significa?"

Significa que você deverá fazer algumas manipulações para chegar à conclusão desejada...

Ufa! Espero ter ajudado....
danielcomex
 
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Re: Limites por definição

Mensagempor natashamzz » Sábado Abr 06, 2013 4:14 pm

Muito obrigada :D
natashamzz
 
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Re: Limites por definição

Mensagempor lucasaraujo6 » Quinta Ago 27, 2020 10:41 pm

danielcomex escrito:Olá natashamzz,

Nem sempre você conseguirá igualar as expressões imediatamente, o melhor dos casos é quando você consegue a partir da relação |f(x) – L|< ε chegar na relação |x –c|<A diretamente, sendo A uma expressão em função de ε. Para exemplificar este caso, vamos provar pela definição que:

lim 2x + 1 = 3
x -> 1

Dessa forma vamos conjecturar δ em função de ε, à partir da relação |f(x) – L|< ε, assim

|(2x + 1) - 3| < ε

|2x - 2| < ε

|2||x-1| < ε

|x-1| < ε/2

Neste caso, conseguimos chegar em | x – c | < A, sendo A uma expressão em função de ε. Portanto, basta tomarmos δ = ε/2.

Cuidado! A prova ainda não foi feita, agora que conjecturamos δ, vamos provar:

lim 2x + 1 = 3 <=> para todo ε > 0, existe δ > 0; 0 < | x – 1 | < δ ⇒ | f(x) – 3 | < ε.
x -> 1

Prova:

0 <| x – 1 | < δ ⇒ |(2x + 1) - 3| = |2x - 2| = 2|x-1| < 2δ = 2(ε/2) = ε

Como queríamos mostrar... Mas pode acontencer de você não conseguir chegar nesse resultado diretamente e você precisar fazer algumas manipulações, veja o exemplo:

lim x² = 4
x -> 2

Pela definição:

|x² - 4| < ε
|x+2||x-2| < ε

Desejamos somente a parcela |x-2| nesta relação, para isso vamos assumir que |x-2| < 1. Mas por que podemos fazer essa suposição? Pois, estamos admitindo que estamos trabalhando com valores de ε arbitrariamente pequenos e x está assumindo valores próximos de 2, daí:

-1 < x - 2 < 1
1 < x < 3

A partir dessa relação anterior,

3 < x + 2 < 5

Como x + 2 é menor do que 5, então

|x + 2| |x-2| < 5|x-2|

Agora vamos utilizar essa relação de volta no nosso trabalho inicial

|x+2||x-2| < 5|x-2| < ε

|x-2| < ε/5

Mas temos um problema, como δ = ε/5, se tomarmos valores de ε suficientemente grandes fazendo com que |x+2| assuma valores maiores do que 5, então teremos uma inconsistência na nossa prova,

Se ε = 10, então δ = 2 e

-2 < x - 2 < 2

0 < x < 4

2 < x + 2 < 6

Neste caso |x+2| pode assumir valores no intervalo (5,6). Dessa forma para garantirmos a consistência da nossa prova tomamos:

δ = min{1, ε/5}

Vamos à prova:

lim x² = 4 <=> para todo ε > 0, existe δ > 0; 0 < | x – 2 | < δ ⇒ | f(x) – 4 | < ε.
x -> 2

Prova:

| x – 2 | < δ ⇒ |x² - 4| = |x+2||x-2| < 5|x-2| < 5δ = 5(ε/5) = ε.

Como queríamos demonstrar...

Vamos resumir:

"eu tenho que fazer com que o que está entre os módulos fique igual?"

A estratégia para conjecturar δ em função de ε é esta, mas nem sempre conseguiremos fazer com que isso aconteça diretamente.

"Se não for igual, o que significa?"

Significa que você deverá fazer algumas manipulações para chegar à conclusão desejada...

Ufa! Espero ter ajudado....



Valeeeeeeu, ajudou muito!!!
lucasaraujo6
 
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