Demonstração

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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Demonstração

Mensagempor Leonardo Rodrigues » Sábado Mar 09, 2019 11:06 am

Olá, me chamo Leonardo, tenho 17 anos, fiz uma demonstração e gostaria por favor que alguém me dissesse se ela está correta. Eu fiz uma demonstração de que o número de representações de um natural maior que 0 é sempre o dobro do número de representações do número natural anterior. Por ex: O número de representações de 2 é 2, pois 2= 1+1 e 2. O número de representações de 3 é 4, pois 3=1+1+1, 2+1, 1+2, 3. O número de representações de 4 é 8 e assim por diante, sempre o dobro da quantidade anterior. Estou considerando que a ordem importa, então a representação 1+2 é diferente da representação 2+1. Pra demonstrar isso eu fiz um modo de encontrar todas as representações de um número natural qualquer n a partir das representações de todos os números naturais menores que n. Esse procedimento consiste em somar um número adequado a cada representação de cada número menor que n, de modo que o resultado da soma seja n. Agora somamos 1, esse 1 diz respeito ao próprio número, a representação feita por ele mesmo. E assim temos todas as representações de n, basta agora contá-las. Por ex: Pra obter todas as representações de 4 a partir de todas as representações de todos os números menores que 4, podemos somar um número adequado a cada representação desses números pra obter 4 e depois inserir ele mesmo, o 4, no conjunto, como mais uma representação dele. Fica 1+3, 2+2, 1+1+2, 3+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+1+1, 4. Pra provar que isso sempre será verdadeiro eu pensei em um número natural qualquer n, então qualquer representação de n será formada por uma soma de números menores que n. O primeiro algarismo de qualquer representação de n é menor que n, a soma desse algarismo com o segundo algarismo também é menor que n. A soma desses dois com o terceiro algarismo também é menor que n e assim até somar com o último algarismo e chegar no número n. Se nós consideramos essa soma de algarismos, exceto com o último algarismo, e sabendo que ela é menor que n então essa é uma representação de um número menor que n, e o último algarismo é o número adequado que somamos no procedimento que eu havia lhe dito no começo. Então esse procedimento gerou essa representação de n e então ele funciona. Agora pra provar que o número de representações de qualquer número será sempre o dobro do número anterior, eu fiz: Seja n=1 e usando esse procedimento de gerar representações fica n, n+1, n+1+n+1, n+1+n+1+n+1+n+1...Ou seja n,n+1, 2n+2, 4n+4...Provando assim que a quantidade das representações será sempre o dobro da anterior. Está correto? Obrigado
Leonardo Rodrigues
 
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