Função Injetora

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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Função Injetora

Mensagempor barbosadejesu » Quarta Jul 04, 2018 9:52 pm

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Observe a seguir a definição de função injetora:

f : A → B é uma função injetora, quando, para todo X1 e X2 pertencentes ao conjunto A, se X1 diferente de X2, então f(X1) diferente de f(X2).

Para provar que a função f : R → R definida pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora você:

a) Pode fazer uma demonstração direta, considerando que se X1 = X2, então f(X1) = f(X2).

b) Pode fazer uma demonstração direta, considerando que X1 = 1 e X2 = 2 e mostrar que f(1) é diferente de f(2).

c) Em uma demonstração por contraposição, pode supor que f(X1) = f(X2) e mostrar que X1 = X2.

d) Em uma demonstração por contraposição, pode supor que f(X1) diferente de f(X2) e mostrar que X1 diferente de X2.

e) Nenhuma das alternativas.
barbosadejesu
 
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Re: Função Injetora

Mensagempor gandulfo » Terça Jan 08, 2019 10:12 pm

Olá, barbosadejesus, tudo bem?

Bem, vemos aí uma questão de cunho teórico. A resposta é a letra A. Dir-lhe-ei por quê:

A definição apresentada pelo texto cria uma proposição do tipo "se [A], então [B]". Lembra-se delas? As proposições "se [A], então [B]" pressupõem que a veracidade de um evento B está condicionada à de outro A. Veja: B é verdadeiro apenas se A for verdadeiro, ao passo que, se A for falso, B pode ainda ser verdadeiro ou não. Veja um exemplo menos teórico:

"Se meu time ganhar, eu tirarei minha camisa."

Veja que o primeiro pressuposto é [meu time ganhar]; ao passo que o segundo é [tirarei minha camisa]. É possível que eu tire a camisa sem que o meu time ganhe? Sim. Nada impede que isso ocorra. É possível que meu time ganhe sem que eu tire a camisa? Não, isso é logicamente impossível.

Portanto, para provar que uma função f(x) é injetora, você deve obrigatoriamente provar primeiro que x1 é diferente de x2 e que, por causa disso, f(x1) é diferente de f(x2). A única alternativa que propõe a solução nessa ordem é a letra A.

A letra B, contudo, possui outro erro: a prova é baseada em valores numéricos, mas, como se sabe, a função f(x)=2x+1 é de R->R, logo a prova com um único dado numérico não a faz conclusiva. As letras C e D primeiro provam que f(x1) é diferente de f(x2) e depois que x1 é diferente de x2, por isso estão erradas.

Espero ter sido útil! _b
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gandulfo
 
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