Cálculo I - Máximos e mínimos

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

Moderadores: Paulo Testoni, Elcioschin

Cálculo I - Máximos e mínimos

Mensagempor Mágico63 » Quinta Jul 05, 2018 8:12 pm

Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.
Extraído do livro do Guidorizzi. Exercícios 9.6, item h.

h(x) = x/(1+x*tgx), x E [0, pi/2].

Resposta: a é ponto de máx. global onde a é a raiz da equação 1-x²*sec²x = 0
Mágico63
 
Mensagens: 1
Registrado: Quinta Jul 05, 2018 8:02 pm

Re: Cálculo I - Máximos e mínimos

Mensagempor gandulfo » Terça Jan 08, 2019 10:00 pm

Olá, Mágico63, tudo bem?

Para encontrar os máximos e os mínimos de uma função univariável, é necessário igualar sua derivada a zero. Primeiramente, calculemos sua derivada:

h(x) = x/(1+x.tg(x))

(1) Regra do quociente: (f/g)'=(f'g-fg')/g²
h'(x)={1.(1+x.tg(x))-x.[0+(x.tg(x))']}/(1+x.tg(x))²
(2) Regra do produto: (fg)'=f'g+fg'
h'(x)={1.(1+x.tg(x))-x.[1.tgx+x.sec²(x)]}/(1+x.tg(x))²
(3) Expansão dos separadores
h'(x)=(1+x.tg(x)-x.tg(x)-x²sec²(x))/(1+x.tg(x))²
(4) Simplificação de termos semelhantes
h'(x)=(1-x²sec²(x))/(1+x.tg(x))²

Formação da equação: igualar a derivada a zero.

(1-x²sec²(x))/(1+x.tg(x))²=0
(1) Para que um quociente resulte zero, é necessário que o numerador seja zero.
1-x²sec²(x)=0
(2) Organização dos termos
x²sec²(x)=1
(3) Resolução por radical
x.sec(x)=±1
Contudo, a solução não pode ser x.sec(x)=-1, já que, para isso, sec(x)<0 (e, consequentemente, cos(x)<0) e, se essa condição for satisfeita, x não estará inscrito no intervalo proposto, [0, π/2], já que isso só pode ser realizado com valores de x pertencentes ao intervalo (π, 2π).

Portanto, o máximo global que a função pode atingir é aquele em que o valor que o representa é solução da equação x.sec(x)=1.

Espero ter sido útil! _b
Espero ter sido útil! _b
gandulfo
 
Mensagens: 10
Registrado: Terça Jan 08, 2019 8:18 pm
Localização: Brasília, DF, Brasil


Voltar para Ensino Superior

Quem está ligado

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 5 visitantes