Taxa Marginal - Derivadas

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

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Taxa Marginal - Derivadas

Mensagempor barbosadejesu » Quarta Maio 16, 2018 12:47 pm

Um produto usa dois insumos x e y que se substituem segundo a relação:

0,2x² + 5y = 100

Calcular e interpretar o valor dx/dy e o valor dy/dx ao nível x = 20 (taxa marginal de substituição).

Solução:

0,2x² + 5y = 100

0,2 . (20)² + 5y = 100

0,2 . (400) + 5y = 100

80 + 5y = 100

5y = 100 - 80

5y = 20

y = 20 : 5

y = 4

A partir daqui o que devo fazer?????????

Gabarito:

dx/dy = - 0,62, ou seja, "a tendência ao nível y = 4 é uma (1) unidade de y substituir 0,62 unidades de x".

dy/dx = - 1,6, ou seja, "a tendência ao nível x = 20 é uma (1) unidade de x substituir 1,6 unidade de y".
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Re: Taxa Marginal - Derivadas

Mensagempor Edu Lima » Quinta Maio 17, 2018 12:06 am

barbosadejesu escrito:Um produto usa dois insumos x e y que se substituem segundo a relação:

0,2x² + 5y = 100

Calcular e interpretar o valor dx/dy e o valor dy/dx ao nível x = 20 (taxa marginal de substituição).

Solução:

0,2x² + 5y = 100

0,2 . (20)² + 5y = 100

0,2 . (400) + 5y = 100

80 + 5y = 100

5y = 100 - 80

5y = 20

y = 20 : 5

y = 4

A partir daqui o que devo fazer?????????

Gabarito:

dx/dy = - 0,62, ou seja, "a tendência ao nível y = 4 é uma (1) unidade de y substituir 0,62 unidades de x".

dy/dx = - 1,6, ou seja, "a tendência ao nível x = 20 é uma (1) unidade de x substituir 1,6 unidade de y".



Questões com derivada aplicada no ponto, você não pode substituir o ponto direto na função principal, você tem que primeiro fazer a derivada, para depois substituir no ponto de x=20.

Função principal ----> 0,2x² + 5y = 100

Inicialmente vamos isolar Y, e fazer a derivada em função de X, depois faremos o contrário.

Y(x)=(1/5)(100-0,2x²)
dY/dX=(1/5)d((100-0,2x²)/dX=(1/5)*0+(1/5)*(-2*0,2x)=(1/5)*(-0,4x)

Logo, dY/dX=-(1/5)*(0,4x) ou Y(x)' =-(1/5)*(0,4x)

Aplicando o ponto, quando x=20, fica: Y(20)' =-(1/5)*(0,4*20)= -1,6.
Fazendo a mesma análise, agora invertendo as variáveis.

0,2x²=(100-5y) --->x²=500-25y ----> X(y)=raiz(500-25y )=(500-25y)^(1/2)

dx/dy=1/2*(500-25y)' * (500-25y)^(1-1/2) = -25/2*(500-25y)^(-1/2)

Logo, dx/dy= -25/2*(500-25y)^(-1/2) ou X(y)'=-25/2*(500-25y)^(-1/2)

Quando y=4, X(4)'=-25/2*(500-25*4)^(-1/2) = -25/2 * 1/raiz(400)= (-25/2)*(1/20)= -0,625
Edu Lima
 
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Re: Taxa Marginal - Derivadas

Mensagempor barbosadejesu » Quinta Maio 17, 2018 12:10 am

Meus sinceros agradecimentos ao Senhor Edu Lima!
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