ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino superior.

Moderadores: Paulo Testoni, Elcioschin

ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

Mensagempor beatrizalb » Terça Dez 05, 2017 5:03 pm

BOA TARDE,


Gostaria de Saber como são feitas as seguintes questões?

1)Provar que o Centro Z(G) do grupo G é um subgrupo de G.
Com Z(G) = { xEG | xh=hx para hEH}.


2) Se o Grupo G é finito, G=n, então existe um Grupo G de Ordem p(prima).


Desde já, meu muito Obrigada!!!
beatrizalb
 
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Re: ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

Mensagempor Bruno Holtz » Quarta Dez 20, 2017 2:08 pm

1) Primeiramente, inv(z)*z = 1.
Se z esta em Z(G), sabemos que gz = zg; logo gz*inv(zg) = 1.

Assim,
1 = gz*inv(g)*inv(z); que implica,

inv(z) = Inv(gz*inv(g)) = g*inv(gz) = g*inv(z)*inv(g); logo,
inv(z)*g = g*inv(z). Portanto inv(z) pertence a Z(G).
Resta mostrar que se h,z pertencem a Z(G), hz esta em Z(G). Basta notar que para qualquer g de G temos que g(hz) = (gh)z = (hg)z = h(gz) = h(zg) = hzg.

2) OBS.: Acredito que o enunciado correto é saber quantos SUBGRUPOS de ordem prima G admite. Assim sendo, basta notar que sendo G = n e n um Inteiro positivo, pelo teorema fundamental da aritmética existem primos distintos tais que n = p1p2...pm. Agora como a ordem do subgrupo divide a ordem do grupo, segue que existe algum subgrupo de ordem pi, para algum i em {1,...,m}.
Bruno Holtz
 
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