Problema de matemática

[Vera Ellen Rabelo]

Um homem abriu um cofre com moedas de 1,00 e, ao abri-lo lhe perguntaram qual o valor que havia no cofre, e ele respondeu:
Se eu contar as moedas de duas em duas, sobra uma. Contando as moedas de tres em tres sobra uma. Contando as moedas de cinco em cinco sobra uma e contando as moedas de sete em sete não sobra nenhuma.
Qual o valor que estava no cofre?

[ivomilton]

Um homem abriu um cofre com moedas de 1,00 e, ao abri-lo lhe perguntaram qual o valor que havia no cofre, e ele respondeu:
Se eu contar as moedas de duas em duas, sobra uma. Contando as moedas de tres em tres sobra uma. Contando as moedas de cinco em cinco sobra uma e contando as moedas de sete em sete não sobra nenhuma.
Qual o valor que estava no cofre?

Boa noite, Vera.

De 2 em 2, sobra uma.
De 3 em 3, sobra uma.
De 5 em 5, sobra uma.

Então o número de moedas deve ser múltiplo do mmc(2,3,5) mais uma:
mmc(2,3,5) = 30

Logo, o número deve ter o seguinte formato:
N = 30x + 1

E como N é múltiplo de 7, fica:
N = 7y

30x + 1 = 7y
7y - 30x = 1 (I)

Múltiplos de 7........... = 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. ...
Múltiplos de 30, mais 1 = 31, 61, 91, 121, 151, 181, ...

Então, 91 é o menor número que atende às especificações da questão.

A equação (I) é uma equação diofantina, ou seja, uma única equação com duas incógnitas e com raízes inteiras e positivas.

x = 3 + 7k
y = 13 + 30k

Tabela
k ___ x ___ y
0 ___ 3 __ 13
1 __ 10 __ 43
2 __ 17 __ 73
3 __ 24 _ 103
................
etc

Soluções: 91, 301, 511, 721, ...

Uma P.A. com a1=91 e r=210.


Um abraço.