trigonometria3

[elainecsm]

Em [ 0;pi], se y é a maior raiz da equação


(cos^4 x) - (8 * cos^3 x) + (6 * cos^2 x) - (8 * cos x) + 1 = 0, então sen ( 3 * y / 4 ) vale:

resp: -1

[Elcioschin]

Favor conferir enunciado:

A incógnita é y = cosx ----> Como a equação é do 4º grau, existem 4 raízes, isto é 4 valores para y, dados por:

y^4 - 8y³ + 6y² - 8y + 1 = 0

Caso existam raízes racionais elas só pode ser y = +1 ou y = -1 ---> Nenhum destes valores atende.

Logo, a equação somente tem raízes irracionais.

Além disso, y é um NÚMERO, isto é, NÃO é um ângulo.

Logo não se pode falar em sen(3y/4).

Favor verificar enunciado.

[Bruno Bonagura]

y^4 - 8y³ + 6y² - 8y + 1 = 0
y²(y² + 1/y²) - 8y²(y + 1/y) + 6y² = 0

Como já sabemos que y = 0 não interessa:

(y² + 1/y²) - 8(y + 1/y) + 6 = 0

Fazendo z = y + 1/y, temos z² - 2 = y² + 1/y². Daí creio que você possa continuar.

z² - 2 - 8z + 6 = 0

O resto é braço.

Elcioschin, não entendi sua colocação. As funções trigonométrias são conhecidas por possuirem domínio real, isto é, não há problema em y ser um número. Não se esqueça que pi é um número real puro, não uma unidade de medida.

[Elcioschin]

Bruno

Acho que eu não me expressei bem na mensagem anterior.
Por favor, siga a minha linha de raciocínio:

Segundo o gabarito a resposta é ----> sen(3*y/4) = -1 ----> 3*y/4 = 3*pi/2 (1ª volta) -----> y = 2*pi

Mas, por definição do enunciado y é a maior raiz ----> y = cosx ----> cosx = 2*pi ----> ?????

Devido a isto nem tentei resolver, já que a solução implicava numa resposta absurda.

Prosseguindo com a sua solução ----> z² - 8z + 4 = 0 ----> Raízes: z = 4 + 2*V3 e z = 4 - 2*V3

a) y + 1/y = 4 + 2*V3 ----> y² - (4 + 2*V3)*y + 1 = 0 ----> y = 2 + V3 + - V(6 + 4*V3) ---> Raízes irracionais

b) y + 1/y = 4 - 2*V3 ----> y² - (4 - 2*V3)*y + 1 = 0 ----> y = 2 - V3 + - V(6 - 4*V3) ----> Raízes complexas

Veja: não se consegue chegar no gabarito. Como calcular sen(3*y/4) ?

O que você acha ?

[Bruno Bonagura]

Acho que houve uma confusão de notação. O problema afirma que y é a maior solução da equação (que é em x), o y que usamos foi na substituição y = cos x. Talvez seja melhor usar outra letra. Mesmo assim, parece estar meio estranho, conferindo:

sen ( 3 * y / 4 ) = -1 ... 3y/4 = 3pi/2 + kpi ... y = 2pi + k.4pi/3

Para cair em [0, pi] basta tomar k = -1, assim y = 2pi/3. Daí y (da substituição) seria -1/2, o que parece não bater com sua resposta.

Sinceramente, estou com preguiça de fazer as contas

[Elcioschin]

Bruno

Existe uma pequena falha na sua última fórmula:

Experimente k = 1 ----> 3*y/4 = 3*pi/2 + 1*pi ----> 3*y/4 = 5*pi/2 -----> 3*y/4 = 2*pi + pi/2 ----> sen(pi/2) = + 1

Assim, a fórmula correta é ----> sen(3*y/4) = - 1 ----> 3*y/4 = 3*pi/2 + 2*k*pi

Isto porque o único valor que satisfaz, EM CADA VOLTA, é somente 3*pi/2

Além disso, o intervalo [0; pi] é da variável x e não da variável y.

[Bruno Bonagura]

Realmente faltou um fator 2:

sen ( 3 * y / 4 ) = -1 ... 3y/4 = 3pi/2 + k.2pi ... y = 2pi + k.8pi/3

Logo os valores de y em [0,pi] que satisfariam essa resposta seriam: pi/3 e 2pi/3, levando a cos(x) = -1/2 e cos(x) = 1/2. O que obviamente não bate com cos(x) = 2 + V3 + - V(6 + 4*V3) ([url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve[y^4+-+8y^3+%2B+6y^2+-+8y+%2B+1+%3D+0%2C+y]wolfram alpha[/url]). Logo a resposta fornecida está incorreta e resolver o problema assim fica y = arccos(2 - V3 + - V(6 - 4*V3)), daí da para usar sen²(3y/4) + cos²(3y/4) = 1, o que não parece nada trivial.

Obs.: Elioschin, vc parece não estar observando que y é a maior raiz da equação, que é em x, como diz o enunciado, isto é, y é de fato x. Como falei, você fez a substituição y = cos(x) e ficou confuso, basta mudar para t = cos(x) que tudo fica mais claro.

(cos^4 x) - (8 * cos^3 x) + (6 * cos^2 x) - (8 * cos x) + 1 = 0
Fazendo t = cos(x):
t^4 - 8t³ + 6t² - 8t + 1 = 0
t²(t² + 1/t²) - 8t²(t + 1/t) + 6t² = 0
(t² + 1/t²) - 8(t + 1/t) + 6 = 0
(...)
t = 2 + V3 + - V(6 + 4*V3) -> x = y = arccos(2 - V3 + - V(6 - 4*V3)) (pois arccos está em [0,pi] por def.)
E assim vai.