Triângulo retângulo.

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

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Triângulo retângulo.

Mensagempor thiagomurisini » Segunda Set 07, 2009 12:31 pm

Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AC=12 e AB=5. A bissetriz interna traçada de C intersecta o lado AB em M.
Sendo I o incentro de ABC, a razão entre as áreas de BMI e ABC é:

a) 1/50

b) 13/60

c) 1/30

d)13/150

e0 2/25
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Re: Triângulo retângulo.

Mensagempor Bruno Bonagura » Segunda Set 07, 2009 2:04 pm

Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que BC = 13. Por outro lado, pelo teorema da bissetriz interna, sabe-se que:

MB/BC = MA/AC
MB/13 = MA/12

Como MB + MA = AB = 5, chegamos a MB = 13/5. A altura do triângulo BMI em relação ao lado MB é igual ao inraio do triângulo ABC, pois liga I perpendicularmente a AB. Podemos calcular esse inraio, r, pela fórmula S=pr, onde S é a área do triângulo ABC e p é o seu semiperímetro:

5.12/2 = (12 + 13 + 5)r/2
r = 2

Portanto, a área S' do triângulo BMI é:

S' = MB.r/2 = 13/5

Logo:

S'/S = (13/5)/30) = 13/150
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(Marquês de Sade)
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