Área de um triângulo.

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin

Área de um triângulo.

Mensagempor eduardomur » Segunda Set 07, 2009 9:54 am

Imagem



Na figura acima, ABCD é um quadrado de área 104 e o ponto O é o centro do semicírculo de diâmetro AB. A área do triângulo AEF é dada por

(A) 2[(3√3)+3]

(B) 6[(4√3)-3]

(C) 5[(4√3)-6]

(D) 3[(4√3)-3]

(E) 8[(4√3)-3]
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Re: Área de um triângulo.

Mensagempor Elcioschin » Segunda Set 07, 2009 11:51 am

eduardomur: Vou mostrar as dicas para a solução e deixo as contas para você fazer.

L² = 104 (L é o lado d quadrado)

1) O triângulo AEF é retângulo em E (inscrito numa semi-circunferência) -----> ^ABE = 60°
2) O triângulo OAE e isósceles (OA = OE = L/2) -----> AÊO = 30° -----> AÔE = 120°
3) EÔB = 60° (suplementar de AÔE) -----> Triângulo EOB é equilátero (EÔB = ^EBO =60°)
4) Logo, BE = L/2

Vamos agora usar geometria analítica:

Seja D(0, 0) a origem do sistema xOy -----> A(0, L) -----> B(L, L)

Equação da reta AE -----> y - yA = tgEÂD*(x - xA) ----> EÂD = 30°
Equação da reta BE -----> y - yB = tg^ABE*(x - xB) ----> ^ABE = 60°

Igulando as duas equações obtém-se xE e yE

Equação da reta DE -----> y - yD = [(yE - yD)/(xE - xD)]*(x - xD)
Equação da reta AB -----> y = L

O ponto F é o ponto de encontro das retas AB e DE -----> Acha-se xF e yF

xF é a base do triângulo AEF -----> AF = xF
A alura h deste triângulo é dada por-----> h = BE*cosABE -----> h = (L/2)*(V3/2) -----> h = L*V3/4

Finalmente, a área do triângulo AEF é dada por -----> S = AF*h/2 -----> S = xF*h/2

Mãos à obra: faça as contas!
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