concurso campinas

[erectus]

Um cone com superfície de vidro muito fino tem 30cm de
altura e está inicialmente com o vértice para baixo. Nessa
posição, o líquido contido em seu interior está com nível a
20cm do vértice.

Invertendo a posição do cone de forma que sua base fique
sobre um plano horizontal, a distância do vértice do cone à
superfície do líquido é x = 10 vezes a raiz cúbica de n, onde n é igual a:
(A) 19.
(B) 20.
(C) 21.
(D) 24.
(E) 26.

[Bruno Bonagura]

O volume da seção do cone entre o vértice e qualquer plano paralelo a sua base é proporcional ao cubo da distância ao vértice. Este enunciado (semelhança de sólidos) resolve esse problema.

Seja V1 o volume do líquido. Na situação com o vértice para baixo, a altura do líquido é 20cm. Na situação com a base para baixo, seja V2 o volume vazio do cone, entre o líquido e o vértice. Com a semelhança de sólidos, sabemos que:

V1/20³ = (V1 + V2)/30³ = V2/(10³n)

Então sabemos que V2 = 10³nV1/20³. Substituindo em:

V1/20³ = (V1 + V2)/30³

Temos:

V1/20³ = (V1 + 10³nV1/20³)/30³

O que leva a:

n = 19

[erectus]

muuuuitoo obrigado bruno