Geometria Analítica

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

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Geometria Analítica

Mensagempor Kylix » Domingo Set 06, 2009 12:38 pm

Imagem
O quadrado da figura tem um vértice na origem, outro no ponto (10,7) e um terceiro no ponto (a,b). Qual é o valor de a + b ?
Kylix
 
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor Bruno Bonagura » Domingo Set 06, 2009 2:07 pm

Uma solução não ortodoxa é por números complexos. Como o segmento (a,b)-(10,7) é perpendicular ao que liga (10,7) a origem e tem o mesmo comprimento, isto é, o primeiro é uma rotação de 90º em sentido anti-horário do segundo:

(a-10,b-7) = i(10,7)
(a-10) + i(b - 7) = i(10 + 7i)
(a-10) + i(b - 7) = -7 + 10i
a - 10 = -7 e b - 7 = 10
a = 3 e b = 17

a + b = 20
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor Kylix » Domingo Set 06, 2009 5:24 pm

Bruno,

Obrigado pela resposta.

Você teria alguma outra solução, pois a prova foi feita por alunos do 1º ano do Ensino Médio que não possuem ainda conhecimento sobre números completos?
Kylix
 
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor Bruno Bonagura » Domingo Set 06, 2009 5:50 pm

Vou dar nome aos pontos para ficar mais breve:
O(0,0)
A(10,7)
B(a,b)

Como AB é perpendicular a OA, então o produto dos coeficientes angulares vale -1, logo:

mAB.mOA = -1
[(7-b)/(10-a)](7/10)=-1
10a + 7b = 149 (i)

Por outro lado, a distância entre A e B e a distância entre A e O devem ser iguais:

10² + 7² = (10 - a)² + (7 - b)²
149 = 100 - 20a + a² + 49 -14b + b²
a² - 20a + b² - 14b = 0 (ii)

Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii) se chega à resposta. Mas parece ser bem trabalhoso.
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor MarcoFerreira » Domingo Set 06, 2009 6:20 pm

Essa questão foi apresentada na prova da OBMEP, a resolução foi feit por congruência de triângulos, de maneira bem simples inclusive, como não tenho habilidade para fazer desenhos no computador fica dificil descrever a solução, nos próximos dias a OBMEP irá disponibilizar o resultado no site.
Visite e comente meu site: www.estamate.com.br
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor Bruno Bonagura » Domingo Set 06, 2009 6:50 pm

Sim, é o que está por trás da solução por números complexos, na verdade. É a seguinte:

Imagem

Seja C(a,10). Temos que:
ângulo ACB = ângulo ODA = ângulo OAB = 90º
OA = AB

Além disso:
ângulo DOA = ângulo CAO

Como ângulo CAB é o complemento de CAO e o CBA é complemento do CAB, então:
ângulo CBA = ângulo CAO

Logo:
ângulo DOA = ângulo CBA

Portanto os triângulos AOD e ABC são congruentes pelo critério LAAo. Com isso:

CB = OD = 10
CA = AD = 7

Logo o ponto B é B(10 - 7, 7 + 10) = B(3, 17). Finalmente a = 3, b = 17 e a+b=20.
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Re: Geometria Analítica

Mensagempor Kylix » Segunda Set 07, 2009 7:07 pm

Bruno e MarcoFerreira,

Obrigado pela ajuda.
Valeu!
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