Números Racionais e Irracionais

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni, Elcioschin

Números Racionais e Irracionais

Mensagempor TAYLLON SILVVA » Sábado Set 05, 2009 6:56 pm

(PUC - SP) - Qual é a afirmação verdadeira?

a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional
b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional
c) O quadrado de um número irracional é um número racional
d) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional
e) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional

Quero explicações do porquê de uma afirmação ser FALSA e o porquê de uma afirmação ser VERDADEIRA.
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Re: Números Racionais e Irracionais

Mensagempor Elcioschin » Sábado Set 05, 2009 7:30 pm

Alternativa A

Vou mostrar que as demais alternativas estão erradas:

B) (V5)*(V5) = 5 ---> 5 é racional

C) ³V(2) é irracional ---> (³V2)² também é irracional.

D) V(2) - V(2) = 0 ---> 0 é racional

E) V(9) = 3 ---> 3 é racional
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Re: Números Racionais e Irracionais

Mensagempor TAYLLON SILVVA » Sábado Set 05, 2009 10:18 pm

Boa tentativa!

Mas, ainda não é a resposta.
Você diz que b) é falsa, mas lembre-se do enunciado: "O produto de dois números irracionais DISTINTOS (diferentes) é um número irracional".
Diz também que d) é falsa, mas atenção: "A diferença entre um número RACIONAL e um número IRRACIONAL é um número irracional".
Porém, gostei da tentativa. Reveja a questão e tente resolvê-la novamente. Quando alguém acertá-la conforme é pedido, então darei o gabarito.
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Re: Números Racionais e Irracionais

Mensagempor van80 » Sábado Set 05, 2009 11:41 pm

Alternativa verdadeira seria a D.

Alternativa A é falsa, pois:
raiz(2) + 2-raiz(2)=2 que é racional.
raiz(3) + raiz(5)= raiz(3)+raiz(5) que é irracional

Alternativa B é falsa, pois:

raiz(2) . 2 / raiz(2) são ambos irracionais, mas o seu produto é 2, que é racional.
raiz(2 ) . raiz(3) são ambos irracionais e seu produto raiz(6), também é.

Alternativa C é falsa. pois:

raiz(2) ao quadrado é 2
raiz(pi) ao quadrado é pi

Alternativa D é verdadeira, pois:

2- raiz(2) é irracional
outro exemplo
2-(2+raiz(2)) é raiz(2)

Alternativa e falsa,pois

raiz(2) ao quadrado é irracional
raiz(4) ao quadrado é racional
van80
 
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Re: Números Racionais e Irracionais

Mensagempor Bruno Bonagura » Domingo Set 06, 2009 2:57 pm

Segue prova matemática que:
d) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional
É a alternativa verdadeira.

Demonstração:
Suponha que exista um número racional r e um irracional x tal que r - x seja um número racional. Então temos que existem a e b inteiros rais que:

r - x = a/b

Portanto:

x = r - a/b
x = (rb - a)/b

Mas rb - a é um número racional, o que leva a concluir que x é a razão de dois números racionais. Absurdo, pois x é irracional. cqd
"As paixões humanas não passam dos meios que a natureza utiliza para atingir os seus fins."
(Marquês de Sade)
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Re: Números Racionais e Irracionais

Mensagempor TAYLLON SILVVA » Domingo Set 06, 2009 3:18 pm

Estas explicações bastam. A resposta certa é a alternativa d). Obrigado Bruno e van80.
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