problema sobre quadrado perfeito

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

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problema sobre quadrado perfeito

Mensagempor roberto29 » Quinta Out 15, 2009 10:26 am

Determinar os inteiros positivos a e b,sabendo que a²-b²=7344 e m.d.c.(a,b)=12.

obrigado.
roberto29
 
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Re: problema sobre quadrado perfeito

Mensagempor Zito Rodrigues » Quinta Out 15, 2009 4:34 pm

a^2 - b^2 = 7344
(a + b)(a - b) = 7344

Se m.d.c.(a,b) = 12, então

12A = a
12B = b

substituindo teremos

(12A + 12B)(12A - 12B) = 7344

(A + B)(A - B) = 17.3

como 17 e 3 são primos

A + B = 17
A - B = 3

então

A = 10
B = 7

substituindo teremos

a = 120
b = 84
Zito Rodrigues
 
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Re: problema sobre quadrado perfeito

Mensagempor roberto29 » Quinta Out 15, 2009 4:39 pm

o problema também tem outra solução: 312 e 300
roberto29
 
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Re: problema sobre quadrado perfeito

Mensagempor anakarouline » Segunda Jan 04, 2021 10:30 am

Boa tarde!

Apesar de sua pergunta roberto29 ser de 2009 vale à pena complementar a resposta muito boa do Zito.

Pela resposta do Zito,

(A+B)(A-B) = 51

Os divisores de 51 são 1, 3, 17 e 51, logo, além de (A+B)(A-B) = 17.3 temos que (A+B)(A-B) = 1.51 daí segue que

A+B=51
A-B=1

O que nos dá A=26 e B=25 e assim obtemos a=312 e b=300.
anakarouline
 
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