Principio da indução finita

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino médio.

Moderadores: Paulo Testoni, Helio Carvalho, Elcioschin

Principio da indução finita

Mensagempor Stornreaver » Sexta Jul 01, 2011 5:31 pm

Ola pessoal,

Gostaria que me ajudassem com um exercicio.

Preciso demosntrar pelo Principio da indução finitar a seguinte sentença:

2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) = (n+1) (4 + 3n)/2, para n pertencente a naturais.

eu provei que é verdadeira para p(1), entao fiz p(k+1). Quando fui fazer p(k) + (k+1) = (n+1) (4 + 3n)/2 + (k+1) não consegui obter a prova.
Gostaria de uma ajuda nesta questão.

Obrigado desde ja,
um grande abraço.
Stornreaver
 
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Re: Principio da indução finita

Mensagempor BORGESJOTABE » Sexta Jul 01, 2011 9:18 pm

Stornreaver escrito:Ola pessoal,

Gostaria que me ajudassem com um exercicio.

Preciso demosntrar pelo Principio da indução finitar a seguinte sentença:

2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) = (n+1) (4 + 3n)/2, para n pertencente a naturais.

eu provei que é verdadeira para p(1), entao fiz p(k+1). Quando fui fazer p(k) + (k+1) = (n+1) (4 + 3n)/2 + (k+1) não consegui obter a prova.
Gostaria de uma ajuda nesta questão.

Obrigado desde ja,
um grande abraço.

Boa noite Stornreaver!

Fiz assim...
1º)Verificar se vale para o 1º natural ===> n=0 ===> (2+3*0) = [(0+1)(4+3*0)]/2 ===> 2 = 2 (OK)
2º)Supor que vale para n = k
Daí; 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) = [(k+1) (4 + 3k)]/2
A partir disso, provar que vale também para n = (k+1).
Daí; temos que provar que 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + [2 + 3(k+1)] = {[(k+1) + 1] [4 + 3(k+1)]}/2
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + [2 + 3(k+1)] = 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + (5 + 3k) = [(k+1) (4 + 3k)]/2 + (5 + 3k)
= {[(k+1) (4 + 3k)] + (10 + 6k)}/2 = [4k + 3k² + 4 + 3k + 10 + 6k]/2 = (13k + 3k² + 14)/2
13 k = 7k + 6k (adequando a expressão)
(13k + 3k² + 14)/2 = (7k+3k² + 6k+14)/2 = [k(7+3k) + 2(7+3k)]/2 = [(k+2)(7+3k)]/2
k + 2 = (k+1)+1
7 +3k = 4 + 3 + 3k = 4 + 3(k+1)
Daí; [(k+2)(7+3k)]/2 = {[(k+1) + 1] [4 + 3(k+1)]}/2 (C.Q.D.)
Acho que é isso!
Espero ter ajudado.
BORGESJOTABE
 
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Re: Principio da indução finita

Mensagempor Stornreaver » Segunda Jul 04, 2011 9:48 am

Muito obrigado, BORGESJOTABE.

Me quebrou um grande galho.

Abração
Ate a proxima.
Stornreaver
 
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Re: Principio da indução finita

Mensagempor cezar.05 » Quinta Maio 21, 2020 7:08 pm

Me deparei com essa mesma questão no livro do iezzi, só que em vez de 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) = (n+1) (4 + 3n)/2,
estava: 2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3n) = n(4 + 3n)/2 devo considerar falsa ?
cezar.05
 
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