Geometria, questão 48

Assuntos matemáticos relacionados ao ensino fundamental.

Moderadores: Helio Carvalho, Paulo Testoni

Geometria, questão 48

Mensagempor Frederico Alves » Sexta Abr 27, 2018 12:54 am

[Auxiliar Judiciário - TRE] Os catetos dos triângulos ABC,retângulo em A, medem AB = 24cm e AC = 18cm. O cateto maior AB foi divido em 4 partes iguais pelos pontos P, Q e R, e estes pontos foram ligados ao ponto C, como mostra a figura abaixo. Calculamos a razão entre área e o perímetro para cada um dos devidos triângulos: ACP, PCQ, QCR, RCB. A menor razão encontrada foi:

a) 1,5(2-√2)
b) 1,5(4-√10)
c) 0,67(2+√2)
d) 6(4+√10)
e) 54

Preciso de ajuda nesta questão. Explique-me, por favor!
Frederico Alves
 
Mensagens: 95
Registrado: Quinta Nov 17, 2016 4:29 pm

Re: Geometria, questão 48

Mensagempor Edu Lima » Sexta Abr 27, 2018 6:06 am

Frederico Alves escrito:[Auxiliar Judiciário - TRE] Os catetos dos triângulos ABC,retângulo em A, medem AB = 24cm e AC = 18cm. O cateto maior AB foi divido em 4 partes iguais pelos pontos P, Q e R, e estes pontos foram ligados ao ponto C, como mostra a figura abaixo. Calculamos a razão entre área e o perímetro para cada um dos devidos triângulos: ACP, PCQ, QCR, RCB. A menor razão encontrada foi:

a) 1,5(2-√2)
b) 1,5(4-√10)
c) 0,67(2+√2)
d) 6(4+√10)
e) 54

Preciso de ajuda nesta questão. Explique-me, por favor!


As áreas vão ser todas iguais, isto é, A=(6*18)/2= 54 cm²
Nessa questão, você não deve se preocupar com a área e sim os perímetros, eles são mais chatos de serem encontrados.

Primeiro você monta os quatros triângulos: ACP; ACQ; ACR e ACB., todos esses triângulos em negritos são triângulos retângulos. Achando a hipotenusa de cada um fica:

H1²=18²+6²=6*raiz(10)
H2²=18²+12²=6*raiz(13)
H3²=18²+18²=6*raiz(18)
H4²=18²+24²=30

Note que, 30>6*raiz(18)>6*raiz(13)>6*raiz(10).

P1=(6+18+6*raiz(10))
P2=(6+6*raiz(13)+6*raiz(10))
P3=(6+6*raiz(18)+6*raiz(13))
P4=(6+30+6*raiz(18))

Note que, P4>P3>P2>P1.

Então, se pegar Razão = A/P, sabendo que as áreas vão ser iguais para todos, podemos concluir que, quanto maior for o perímetro, menor vai ser a razão. Então, os valores são: R=54/P4, sabendo que P4=(36+6*raiz(18)), e raiz(18)=raiz(9*2)=3*raiz(2), assim P4=(36+6*3*raiz(2))=(36+18*raiz(2))=18*(2+raiz(2))

Assim, R=54/18*(2+raiz(2))=3/(2+raiz(2)) * (2-raiz(2))/(2-raiz(2)) = 3(2-raiz(2))/(4-2) = 3(2-raiz(2))/2=1,5*(2-raiz(2))
Edu Lima
 
Mensagens: 138
Registrado: Sábado Jan 20, 2018 11:50 pm


Voltar para Ensino Fundamental

Quem está ligado

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 22 visitantes